SUPERPOSICIÓN: UNA APROXIMACIÓN SIN MATEMÁTICAS AVANZADAS A LA MOTIVACIÓN DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

SUPERPOSICIÓN: UNA APROXIMACIÓN SIN MATEMÁTICAS AVANZADAS A LA MOTIVACIÓN DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Julio César López Mendoza

 

No «cómo» sea el mundo es lo místico, sino «que» sea

Ludwig Wittgenstein

 

SEMBLANZA

Egresado de la licenciatura en Filosofía de la Universidad del Claustro de Sor Juana. Actualmente desarrolla la tesis intitulada «El problema de la medición subyacente en la interpretación estándar de la mecánica cuántica», continuación del proyecto iniciado en la estancia anual en el Programa de estudiantes asociados del Instituto de Investigaciones Filosóficas de la Universidad Autónoma de México.

 

  1. ANOTACIONES PRELIMINARES

Si bien es cierto que la mecánica cuántica[1] es una de las teorías más populares —y, me atrevo a decir, misteriosas—, esta popularidad, aunada a la ignorancia general, ha incentivado a utilizar de forma laxa el término cuántico[2]. Claros ejemplos son la «medicina cuántica», la «psicología cuántica» y, en un intento francamente absurdo, la «plenitud cuántica». Pienso que, en gran parte, el abuso del término «cuántico» es consecuencia de la dificultad técnica de la base matemática a partir de la cual se construye la física cuántica; así, estimo que el posible valor del presente ensayo estriba en la oportunidad de tener un acercamiento sin matemáticas avanzadas —pero con rigor conceptual— a la motivación de la mecánica cuántica, a saber, la superposición[3].

  1. INTRODUCCIÓN

De forma muy general, la superposición cuántica establece que es posible sumar estados cuánticos que están en superposición siendo el resultado de esta suma otro estado. Del mismo modo, todo estado cuántico puede ser representado como la suma de dos o más estados. Sin embargo, el concepto de superposición no está propiamente definido, y es que en realidad no existe una definición clara, simplemente es una forma de nombrar un fenómeno que tiene resultados empíricamente bien definidos, pero que se desconoce cómo sucede; David Albert apunta al respecto: «los electrones tienen modos de ser, o modos de moverse, disponibles para ellos que son bastantes distintos a la forma en que sabemos cómo pensar al respecto. El nombre para este nuevo modo (que sólo es un nombre para algo que no entendemos) es superposición.»[4] (Albert, 1994, pág. 11). Con lo anterior, se aprecia que existe un problema conceptual, pues la noción que motivó a la que es posiblemente la teoría física más precisa de la historia —a saber, la mecánica cuántica— carece de una definición exacta, ¿por qué? Se ha desestimado la ambigüedad del concepto de superposición, no por pereza, sino porque en sentido estricto lo que dictaminan los resultados experimentales contraviene a toda forma lógica de pensamiento. No obstante, la teoría es consistente y funcional, y el misterio que engarza a la teoría no menoscaba su tremendo éxito predictivo. Para evidenciar lo anterior es necesario revisar algunos de estos experimentos.       

 

  • SUPERPOSICIÓN CUÁNTICA

 

  1. Esto es real

Para mantener el rigor conceptual, la exposición se basa en experimentos realizados de facto. Específicamente, estos experimentos fueron realizados, en su mayoría, con electrones, pero también se utilizaron neutrones en algunos casos, y átomos de plata en otros. Empero, la identidad de las partículas es irrelevante para los resultados que analizaremos, por lo que en adelante únicamente nos referiremos a los electrones.

            En particular analizaremos dos propiedades físicas medibles y, con la intención de mantener una exposición didáctica, no nos preocuparemos por el nombre real de estas dos propiedades[5]. A la primera le llamaremos «color», mientras que a la segunda nos referiremos como «dureza». Es importante notar que en ambos casos sólo hay dos resultados posibles. En cuanto al color, sólo obtendremos negro o blanco; respecto a la dureza, sólo obtendremos duro o suave. Ningún experimento ha dado algún otro resultado diferente a éstos, por lo que empíricamente está comprobado que a cualquier electrón que se le hayan medido cualquiera de estas dos propiedades necesariamente arrojará uno de los dos resultados mencionados, según sea el caso.     

 

  1. Dos propiedades medibles ¿existe una correlación?

Pensemos en dos cajas, a una la denominaremos «caja de color» y a la otra «caja de dureza». Ambos dispositivos tienen como finalidad medir el color y la dureza, respectivamente. Las dos cajas están construidas del mismo modo, la única diferencia es la propiedad que miden. Tomemos como ejemplo la caja de color para explicar la configuración: se tienen tres ranuras (ver figura A). Por la ranura izquierda se introducen los electrones. Si el electrón es negro, saldrá por la abertura superior (n); si el electrón es blanco, saldrá por la ranura derecha (b). Lo mismo ocurre —con sus respectivas propiedades— con la caja de dureza (ver figura B). Por lo tanto, es posible inferir el color (o la dureza) de un electrón según la posición final de éste.

Figura A

Figura B

 

Es importante resaltar que las mediciones realizadas a estas dos propiedades son repetibles y verificables, condiciones necesarias para toda experimentación confiable. Por ejemplo, si medimos el color de un electrón con una caja de color y obtenemos que es blanco y, posteriormente lo volvemos a medir (sin alterar el electrón en el intervalo entre cada medición), obtendremos nuevamente que es blanco. Lo mismo ocurrirá si resulta ser negro y, paralelamente, con la propiedad de dureza, si obtenemos duro o suave.

            Si deseamos verificar la existencia de una correlación entre los valores de estas dos propiedades medibles de los electrones, es posible alternar las mediciones[6]. Por ejemplo, si tenemos una colección de electrones negros y los introducimos a una caja de dureza, exactamente la mitad saldrán por la abertura de duro, y la otra mitad por la ranura de suave. Lo mismo ocurrirá con una colección de electrones blancos, y con la configuración donde insertemos electrones duros o suaves en una caja de color. Por lo tanto, podemos determinar que no existe una correlación entre estas dos propiedades pues, aparentemente, la propiedad de color no supone nada respecto a la propiedad de dureza, ni viceversa.

 

2.1 Un resultado desconcertante

Ahora intentemos una configuración más elaborada: una caja de color, después una caja de dureza y, finalmente, una caja de color nuevamente. Supongamos que insertamos un electrón por la abertura izquierda de la caja de color y obtenemos que es blanco. Posteriormente, el mismo electrón, sin sufrir ningún tipo de alteración, es insertado en la segunda caja para medir su dureza y obtenemos que es suave. Hasta este momento sabemos que, según los resultados obtenidos, el electrón en cuestión es blanco y suave (recordemos que en cada caso teníamos un 50% de probabilidad de obtener estos resultados), pero aún nos falta realizar la medición de la última caja de color. Según lo que hemos revisado hasta el momento, y con la información disponible de las dos mediciones realizadas, se colige que el resultado de la tercera caja de color debe ser que el electrón es blanco en todos los casos; sin embargo, esto no es lo que sucede. Al realizar esta última medición obtenemos que exactamente la mitad de las veces el electrón es blanco y la otra mitad es negro. Lo mismo sucede si obtenemos primero que el color del electrón es negro (siendo indistinta la relación con la propiedad de dureza), y se mantiene la anomalía paralelamente si cambiamos la configuración por dureza/color/dureza. Ya establecimos que no existe una correlación entre estas dos propiedades físicas medibles, entonces el aparato mismo, es decir, la caja de dureza (o de color, según la configuración que utilicemos) debe ser la responsable de modificar los resultados (más específicamente el 50% de los resultados).

            Si previamente se verificó que ambas cajas podían medir con precisión sus respectivas propiedades, se erigen dos preguntas para intentar dilucidar por qué una configuración de cajas intercaladas aparentemente modifica el resultado final. La primera versa de la posibilidad de construir con mayor precisión las cajas y, la segunda, sobre los parámetros que determinan exactamente qué electrones modifican su color y cuáles no, en caso de que efectivamente el problema sea la falta de precisión en la construcción de las cajas.

            Respecto a la segunda pregunta, no importa cuán cuidadosos seamos verificando el curso de cada electrón con la intención de encontrar la correlación entre las propiedades físicas medibles de los electrones insertados, y su posición final a medida que emergen de la segunda caja de color. Es un hecho que, a partir de los resultados obtenidos por los diversos experimentos, no existe dicha correlación en absoluto.

            En cuanto a la primera pregunta, existen múltiples formas de crear las cajas y de definir su configuración; sin embargo, en todos los casos se mantienen los resultados estadísticos descritos previamente, por lo que invariablemente modifican el 50% de los electrones que miden, sin importar cuán preciso y minucioso sea el proceso de creación de la caja. De este modo, en tanto cada caja cumpla con los requerimientos necesarios para considerarse confiable, es decir, si la caja es capaz de repetidamente y con precisión medir la propiedad para la que fue construida, entonces la aleatorización del color (o la dureza, según sea el caso) es inevitable.

            Es posible construir una caja en la cual se midan el color y la dureza; esta caja consistiría en cinco aberturas (ver figura C). No obstante, nos seguimos enfrentando a la misma problemática pues, si realizamos primero la medición de dureza, esta propiedad será alterada (en la mitad de los casos) cuando se mida la propiedad de color, por lo que sólo tendríamos información fidedigna del color de los electrones. Si midiéramos primero el color y después la dureza, sólo tendríamos información confiable de esta última propiedad. Así, parece imposible establecer simultáneamente el estatus de las dos propiedades de forma correcta. Lo anterior es un ejemplo del principio de incertidumbre[7]. Las propiedades físicas medibles, como el color y la dureza, son en principio «incompatibles» entre sí pues, como revisamos, las mediciones realizadas en una afectarán necesariamente a la otra.  

Figura C

 

  1. Una mirada a los espejos

Pensemos en una configuración aún más elaborada (ver figura D): una caja de dureza que en sus ranuras de salida dirija a los electrones, según sea el caso, hacia un espejo que modificará su dirección[8] para dirigirlos a lo que denominaremos como «caja negra» la cual, a su vez, tendrá una salida denominada «duro y suave»; la caja negra también sólo modifica la dirección de los electrones, con la precisión de que además hace concordar ambos tipos de electrones, a saber, los que tomaron la ruta de duro (d), y los que tomaron la ruta de suave (s)[9].

Figura D

  • Algunos experimentos

Insertamos un electrón blanco en la caja de dureza inicial, este recorre la ruta descrita previamente en la figura D para emerger por la abertura «d y s». Si medimos posteriormente la dureza de dicho electrón, exactamente el 50% de las veces obtendremos que el electrón es duro y 50% que es negro, como la experiencia anterior nos ha anticipado. Si se realizan varias repeticiones del experimento podemos corroborar que es exactamente lo que sucede.

            Ahora intentemos insertar un electrón duro en la caja de dureza. Sabemos que tomará la ruta superior (d) y que si medimos su color una vez que salga de «d y s» tendremos 50% de probabilidad de que sea blanco y 50% de que sea negro. Lo mismo ocurre si insertamos primero un electrón suave, con la distinción de que este tomará la ranura derecha (s). Si repetimos varias veces los experimentos, nuevamente confirmaremos que es exactamente lo que sucede.

 

  • Nace un misterio

Probemos otro experimento. Insertemos al inicio un electrón blanco en la caja de dureza y midamos su color al final. De acuerdo con lo que hemos revisado, sabemos que el 50% de las veces que repitamos el experimento el electrón tomará la ruta superior (d) y resultará ser duro, y el otro 50% tomará la ruta derecha (s), por lo que al evaluarlo obtendremos que es suave. Si nos centramos en la primera mitad, por ejemplo, sabemos que la colección de aquellos electrones emergerá por «d y s» como duros y, si medimos su color, entonces obtendremos que el 50% son negros y el 50% son blancos. Lo mismo ocurrirá con la otra mitad con la diferencia, por supuesto, de que éstos serán suaves.  Lo anterior se deduce sin problema alguno con base en lo que hemos revisado anteriormente (ver 2.1); sin embargo, esto no es lo que sucede. Al realizar este último experimento, obtenemos que exactamente el 100% de los electrones blancos, insertados en la caja de dureza inicial, resultan ser blancos una vez que su color es medido nuevamente al final. Lo anterior infringe lo que habíamos establecido previamente, así como los resultados que obtuvimos en los experimentos realizados en la sección anterior. Recordemos también que tanto los espejos como la caja negra no modifican las propiedades físicas medibles en cuestión, sólo redireccionan su ruta. El resultado obtenido es sumamente extraño y francamente resulta difícil tratar de comprender qué está ocurriendo.

            Intentemos un experimento más con la intención de ampliar nuestra comprensión. Manteniendo la configuración expuesta en la figura D, instalemos una puerta corrediza que tenga la capacidad de moverse a voluntad para detener a los electrones de la ruta derecha (s), es decir, la ruta que toman los electrones suaves (ver figura E). Si no movemos la puerta corrediza, tenemos exactamente la misma configuración que en la figura D; por otro lado, si la activamos, todos los electrones que tomen la ruta derecha (s) serán detenidos y sólo aquellos que tomen la ruta superior (d) podrán continuar su recorrido para emerger por «d y s».   

Figura E

Cavilemos en torno a los posibles resultados con base en este nuevo elemento incluido en la configuración. Si la puerta corrediza está puesta podemos inferir, primero, que el total de electrones en «d y s» se reducirá a la mitad debido a que cualquier colección de electrones que insertemos en la caja inicial de dureza tendrá una probabilidad de 50% de ser duro, y 50% de ser suave, por lo que sólo la primera mitad llegará hasta el final del recorrido. ¿Qué ocurre entonces con la estadística de la mitad que logró continuar su recorrido? Como verificamos, cuando la puerta no está activada, el 100% de los electrones blancos resultan ser blancos. Si somos más precisos, la mitad que tomó la ruta de suave resultó ser blanca, del mismo modo que la mitad que tomó la ruta de duro. Sabemos que la puerta corrediza no afecta las propiedades físicas medibles, sólo bloquea el paso por una de las rutas, entonces se colige que, cuando la puerta corrediza está puesta, la mitad que logró continuar su recorrido es blanca en su totalidad; empero, esto no es lo que ocurre. El resultado indica que, si está activa la puerta, cuando midamos el color al final obtendremos nuevamente una probabilidad de 50% de electrones blancos, y 50% de electrones negros del total de electrones que lograron continuar.

 

            El resultado anterior implica un problema grave pues contraviene cualquier forma lógica de pensamiento. Pensemos en un electrón que pasa a través de la configuración completa del aparato cuando la puerta corrediza no está puesta. ¿Qué ruta pudo haber tomado? ¿Acaso tomo la ruta de duro? No puede ser posible en tanto que sabemos que los electrones que siguen la ruta de duro tienen una estadística de 50/50 respecto a su propiedad de color, mientras que un electrón que recorre la ruta con la puerta corrediza sin activar, de suyo tiene 100% de probabilidad de ser blanco. ¿Entonces tomó el recorrido de suave? Tampoco, pues se enfrenta a las mismas limitantes. ¿Recorrió ambas rutas simultáneamente? Podría en cierto sentido parecer una respuesta atractiva, no obstante, cuando se realizan mediciones a mitad del experimento, en todos los casos se ha encontrado al electrón en la ruta de duro o suave con una probabilidad de 50% en cada caso, como habría de esperarse. Nunca se ha encontrado un electrón dividido en dos con una de sus mitades en cada una de las rutas. Nos queda una posibilidad más, ¿es posible que el electrón no haya tomado ninguna de las vías posibles? Si instalamos dos puertas corredizas, una en cada vía, y bloqueamos ambas rutas, podremos comprobar que ningún electrón continúa el recorrido, por lo que tampoco es posible que no haya recorrido ninguna de las vías.

  1. CONCLUSIONES

Desde el inicio se planteó que la superposición representaba un misterio en los fundamentos de la mecánica cuántica, no un problema ni un enigma, pues no buscábamos (ni era posible encontrar) una solución o una clave, por lo que en este punto no debe ser ninguna sorpresa que no hayamos llegado a una definición concisa del concepto de superposición. Más bien intentamos adentrarnos lo más posible al horizonte de lo cognoscible respecto al fenómeno, en este caso, mediante los resultados experimentales. A pesar de ello y, aunque no fue viable definir el concepto de superposición, sí fue posible establecer por qué no tiene una definición precisa.   

Lo único que se puede aseverar con respecto a lo revisado es que invariablemente habrá una propiedad física medible de la cual no podamos dar cuenta cabal; es decir, siempre existirá un sesgo respecto a nuestras mediciones que no permitirá anticipar de forma precisa nuestros resultados, teniendo como único recurso una probabilidad con parámetros establecidos. Respecto a los ejemplos que revisamos, podemos mencionar que un electrón que inicialmente se sabía blanco, y que recorrió el aparto con la puerta corrediza inactiva, no se encuentra en la vía de duro (d) ni en la de suave (s) ni en las dos simultáneamente, tampoco se puede enunciar que no está en ninguna de las dos, lo único que se puede decir es que se encuentra en un estado de superposición de estar en (d) y (s). Sin embargo, esta enunciación resulta vacía pues carece de contenido, simplemente quiere decir que no es ninguna de las posibilidades lógicas planteadas y que se desconoce qué es lo que en realidad sucede.  David Albert abunda al respecto: «[…] un electrón blanco no puede ser duro o suave, o (de alguna manera) ambos, o ninguno. Decir que un electrón es blanco debe ser lo mismo que decir que está en una superposición de ser duro y suave. […] Y aparentemente el resultado de una medición de dureza en un electrón blanco tiene que ser una cuestión de probabilidad»[10] (Albert, 1994, págs. 15-16)

            Por supuesto la superposición cuántica es un tema feraz que en ningún sentido se agota en lo que hemos revisado. Se ha escrito muchísimo al respecto con diversas perspectivas y métodos de aproximación. Empero, para ahondar al respecto es necesario introducir un lenguaje matemático formal que permita aprovechar la vastedad del tema y las posibles vías de investigación. El presente texto sólo ha intentado esbozar los fundamentos de la superposición cuántica de tal forma que sea asequible para su comprensión, evitando la dificultad que implica recurrir a un lenguaje técnico sin el conocimiento necesario, para así fomentar el acercamiento a la teoría cuántica sin renunciar al rigor académico.

 

Bibliografía

Albert, D. (1994). Quantum Mechanics and Experience. Cambridge: Harvard University Press.

Bell, J. (1990). Against ‘measurement. Physics World, 34-40.

Cullerne, J. (2009). Penguin Dictionary of Physics. Londres: Penguin Reference Library.

Okón, E. (2014). El problema de la medición en mecánica cuántica. Revista Mexicana de Física, 60(2): 130-140. Obtenido de http://www.filosoficas.unam.mx/~okon/medicion1.pdf

Resnick, R. (2001). Física Vol. 1. Ciudad de México: Compañía editorial continental.

 

[1] Una teoría física matemática que surgió de la teoría cuántica de Planck y se ocupa de la mecánica de los sistemas atómicos y afines en términos de cantidades que se pueden medir. El tema se desarrolló en varias formas matemáticas, incluyendo mecánica de ondas (Schrödinger) y mecánica de matrices (Born y Heisenberg), todas las cuales son equivalentes. (Cullerne, 2009)

[2] La cantidad más pequeña de energía que un sistema puede ganar o perder. El cambio en la energía correspondiente a un cuanto es muy pequeño y solo notable en una escala atómica. (Cullerne, 2009)

[3] Para hacer el desarrollo del texto lo más didáctico y asequible que me sea posible, el presente ensayo está fuertemente basado en el libro de David Albert intitulado Quantum Mechanics and Experience (Albert, 1994), el cual recomiendo ampliamente si se desea ahondar en los principios de la mecánica cuántica sin contar con una formación rigurosa en física o matemáticas.

[4] «Electrons seem to have modes of being, or modes of moving, available to them which are quite unlike what we know how to think about. The name of that new mode (which is just a name for something we don't understand) is superposition». Todas las traducciones de esta investigación son realizadas por mí. Adjunto el texto original en nota al pie para su consulta.

 

[5] David Albert especifica que las dos propiedades en las que piensa son los momentos angulares mediante los cuales el electrón gira sobre un eje que pasa a través de su centro y que se efectúa a lo largo de la dirección x y la dirección y, respectivamente. Sin embargo, existen muchas propiedades físicas medibles por las cuales éstas pueden ser sustituidas y que funcionarían de igual forma, en ese sentido resulta irrelevante cuál utilicemos para la exposición.  

[6] A esta altura es posible que sea evidente la falta de solidez respecto al concepto de medición. Esto no es un asunto menor, pues el problema de la medición es una preocupación legítima en los fundamentos de la interpretación estándar de la mecánica cuántica. John Bell cavila al respecto: «Aquí hay algunas palabras que, aunque legítimas y necesarias en la aplicación, no tienen cabida en una formulación con pretensión de precisión física: sistema, aparato, ambiente, microscópico, macroscópico, reversible, irreversible, observable, información, medición. […] La peor de todas es 'medición'. (Here are some words which, however legitimate and necessary in application, have no place in a formulation with any pretension to physical precision: system, apparatus, environment, microscopic, macroscopic, reversible, irreversible, observable, information, measurement. […] the worst of all is 'measurement')» (Bell, 1990, pág. 34). Empero, por la amplitud e importancia del tema, es imposible abordar cabalmente esta problemática en el presente texto. Para ahondar al respecto consultar El problema de la medición en mecánica cuántica (Okón, 2014).

[7] El principio enunciado por Heisenberg de que el producto de la incertidumbre en el valor medido de un componente de momento  y la incertidumbre en la coordenada correspondiente de la posición  es del mismo orden de magnitud que la constante de Planck. El principio puede derivarse exactamente de la mecánica cuántica, pero se entiende más fácilmente como consecuencia del hecho de que cualquier medición de un sistema debe perturbar el sistema bajo investigación, con una falta de precisión en la medición como resultado. (Cullerne, 2009)

[8] Es importante enfatizar que los espejos exclusivamente modificarán la dirección y no afectarán en modo alguno la medición de la propiedad de dureza.

[9] Por supuesto es posible corroborar el hecho de que los electrones suaves y duros, respectivamente, saldrán con su propiedad inalterada por «d y s» antes de montar toda la configuración; lo mismo ocurre para los espejos.

[10] «[…] a white electron can’t be a hard one, or a soft one, or (somehow) both, or neither. To say that an electron is white must be just the same as to say that it’s in a superposition of being hard and soft. […] And so apparently the outcome of a hardness measurement on a white electron has got to be a matter of probability»

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